Binäre Addition

Wie funktioniert ein Computer? Diese Frage, oder zumindest die Unterfrage, wie ein Computer Zahlen addieren kann, möchten wir in der aktuellen Unterrichtseinheit beantworten.

Dazu werden in einem ersten Schritt die Grundlagen der binären Addition und Subtraktion erarbeitet.

Ziele

• Verstehen, wie die binäre Addition funktioniert
• Binäre Rechnungen mit Stift und Papier durchführen können
• Verstehen, wie ein Computer mit Strom binäre Addition durchführen kann

Repetition Zahlensysteme

Zahlen im Zehnersystem sind aus 10 Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) zusammengesetzt, Zahlen im Binärsystem aus 2 Ziffern (0, 1). Um "Hundert und Eins", $101$ im Zehnersystem von "Eins Null Eins", $101_2$ im Binärsystem zu unterscheiden, wird bei Binärzahlen der Suffix 2 angehängt.

Zehnersystem

$$\begin{aligned} 328 &= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 \end{aligned}$$

Bemerke

Jede Stelle einer Zahl gibt an, wie oft eine Potenz der Basis 10 vorkommt.
Im obigen Beispiel also "Dreimal $10^2$, zweimal $10^1$ und achtmal $10^0$".

Binärsystem

$$\begin{aligned} 1011_2 &= 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \end{aligned}$$

Bemerke

Jede Stelle einer Zahl gibt an, wie oft eine Potenz der Basis 2 vorkommt.
Im obigen Beispiel also "Einmal $2^3$, einmal $2^1$ und einmal $2^0$", somit $8 + 2 + 1 = 11_{10}$ im Zehnersystem.

1. Bin → Dez, Dez → Bin

Wandeln Sie vom vom Binär- ins Dezimalsystem um.

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Wandeln Sie vom vom Dezimal- ins Binärsystem um.

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Binäre Addition

Die binäre Addition funktioniert ähnlich wie die Addition im Zehnersystem. Allerdings wird hier nur mit den Ziffern 0 und 1 gerechnet:

1. Beide Binärzahlen werden rechtsbündig untereinander geschrieben.
2. Es wird von rechts nach links spaltenweise addiert, wobei
   • $0 + 0 = 0$
   • $0 + 1 = 1$
   • $1 + 0 = 1$
   • $1 + 1 = 10_{2}$ (also 0 schreiben und 1 merken)

Bemerke

An der 4. Stelle von rechts entsteht ein Übertrag, da $1 + 1 = 10_2$. Die 0 wird in die Ergebnisstelle geschrieben und die 1 wird zur nächsten Stelle addiert.

Bemerke

An der 3. Stelle von rechts entsteht ein Übertrag, der auf an der 4. Stelle dazu führt, dass $1 + 1 + 1 = 11_2$ entsteht. Eine 1 wird in die Ergebnisstelle geschrieben und eine 1 wird zur nächsten Stelle addiert.

2. Binäre Addition

Berechnen Sie die folgenden binären Additionen mit Stift und fügen Sie ein Foto/Screenshot Ihres Lösungswegs ein.

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Addieren mit Strom

Mit dem NAND-Gatter haben wir die Grundlage, um eine Schaltung zu bauen, die zwei binäre Zahlen mit mehreren Stellen addieren kann.

Als Ausgangspunkt verwenden wir folgende Rechnung

Hinterste Stelle addieren - Der Halbaddierer

Wir betrachten zunächst die hinterste Stelle:

Schriftliche Addition, hinterste Stelle

isolierte Betrachtung

Wir benötigen also eine Schaltung, welche aus den beiden Eingängen $A_0$ und $B_0$ das Ergebnis $E_0$ erzeugt und eine andere Schaltung, welche aus den selben Eingängen den Übertrag $a_0$ erzeugt.

Als Wahrheitstabellen ausgedrückt bedeutet dies:

Eingang A0	Eingang B0	Ausgang E0
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Eingang A0	Eingang B0	Ausgang Ü0
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Beide Wahrheitstabellen haben wir schon angetroffen. Diejenige für das Ergebnis $E_0$ entspricht der XOR-Operation, diejenige für den Übertrag $\ddot{U}_0$ entspricht der UND-Operation.

Kombiniert man die beiden Operationen richtig, so entsteht ein Halbaddierer für eine Stelle. Im folgenden Video¹ wird diese Schaltung vorgestellt.

Hinweis: Im Video wird der Ausgang E mit S für Summe bezeichnet.

Hier nochmals die Schaltung des Halbaddierers und das Symbol, welches wir in den Simulationen an Stelle der Schaltung verwenden:

Schaltung für Halbaddierer (HA)

Symbol für Halbaddierer

Hinweis:

• C steht für englisch Carry und bedeutet Übertrag
• S steht für Summe

3. Simulation Halbaddierer

Link

👉 nandgame.com

Machen Sie im Nandgame das Level "Half Adder" und halten Sie einen Screenshot des fertigen Halbaddierers im Antwortfeld fest.

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Weitere Einzelstellen addieren - Der Volladdierer

Schriftliche Addition zweithinterste Stelle (Stelle 1)

Isolierte Betrachtung und Verallgemeinerung auf Stelle n

Wir brauchen also eine Schaltung, welche 3 Eingänge hat: $A_n$, $B_n$, $\ddot{U}_{n-1}$.
$\ddot{U}_{n-1}$ entspricht dem Übertrag aus der Stelle rechts von Stelle $n$.

Eine solche Schaltung heisst Volladdierer und wird im folgenden Video¹ vorgestellt.

Hier nochmals die Schaltung des Volladdierers und das Symbol, welches wir in den Simulationen an Stelle der Schaltung verwenden:

Schaltung für Volladdierer (VA)

Symbol für Volladdierer

Hinweis:

• C steht für englisch Carry und bedeutet Übertrag
• S steht für Summe

4. Volladdierer

Link

👉 nandgame.com

Machen Sie im Nandgame das Level "Full Adder" und halten Sie einen Screenshot des fertigen Volladdierers im Antwortfeld fest.

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Footnotes

1. Quelle: 👉 https://www.youtube.com/@einfachinfo ↩ ↩²