Asymmetrie
Es gibt Vorgänge, die in die eine Richtung einfach durchzuführen sind, in die entgegengesetzte Richtung allerdings sehr aufwändig oder gar unmöglich:
| einfacher Vorgang | aufwändiger/schwieriger Vorgang |
|---|---|
| Kryptobox mit Schlüssel öffnen | Kryptobox ohne oder mit falschem Schlüssel öffnen |
| offenes Bügelschloss schliessen | Bügelschloss ohne Schlüssel öffnen |
Diese Beispiele zeigen, worauf die asymmetrische Verschlüsselung basiert:
Die asymmetrische Verschlüsselung basiert auf Aufgaben, die in eine Richtung einfach auszuführen sind, während man eine geheime Information braucht, um den Vorgang rückgängig zu machen.
Verfügt jemand nicht über diese geheime Information, ist die Umkehrung des Vorgangs nicht in sinnvoller Zeit zu bewältigen.
Im folgenden Gibt es zwei Beispiele, die das Prinzip der asymmetrischen Verschlüsselung weiter illustrieren: das erste Beispiel ist eine praktische Anwendung aus der Kunst, das zweite Beispiel ist ein mathematisches Problem (zum Ausprobieren 😉).
Aus der Kunst: Geheime Farbe
Alice und Bob arbeiten an einem neuen Kunstwerk, auf das die Öffentlichkeit gespannt wartet. Die beiden möchten dafür eine ganz besondere Farbe verwenden. Diese Farbe soll aber unbedingt bis zur Vernissage geheim bleiben. Alice und Bob wohnen weit auseinander und können sich nicht treffen, um die geheime Farbe gemeinsam herzustellen, sie können sich lediglich Farbkübel per Post zusenden.
Wie soll das gehen? Alice und Bob haben eine Idee und gehen wie folgt vor:
- Private Farbe
- Schritt 1: Alice und Bob mischen sich je in einem Farbkübel eine persönliche, geheime Farbe, die sie niemandem mitteilen (private Farbe genannt).
- Öffentliche Farbe
- Schritt 2 Alice wählt nun zusätzlich eine Farbe, die nicht geheim gehalten wird. Sie füllt zwei grosse Farbkübel mit dieser Farbe, einen behält sie für sich selbst, den anderen schickt sie per Post an Bob (öffentliche Farbe genannt).
- Zwischenfarbe
- Schritt 3: Im nächsten Schritt mischen sich Alice und Bob je in einem leeren Farbkübel eine neue Farbe: Sie nehmen dazu genau dieselbe Menge der eigenen privaten Farbe und der gemeinsamen Farbe. Diese neue Farbe schicken sie sich wieder gegenseitig zu.
- Zielfarbe
- Schritt 4: Im letzten Schritt erzeugen Sie die Zielfarbe fürs Kunstwerk. Dazu nehmen sie zwei Einheiten der soeben erhaltenen Farbe und eine Einheit der privaten Farbe und erhalten die gemeinsame private Farbe, mit der sie die Teile des neuen Kunstwerks bemalen.
Eve
Die neugierige Journalistin Eve möchte unbedingt wissen, was Alice und Bob aushecken, um noch vor der Vernissage einen exklusiven Zeitungsbericht zu veröffentlichen. Daher versucht sie, an die gemeinsame private Farbe zu gelangen. Sie überwacht die Post und füllt sich von jeder transportierten Farbe ein wenig in eigene Behälter ab.
Ausprobieren
Bestimmen Sie je eine Farbe für Alice und Bob und schauen Sie sich die Ergebnisse an.
Wieso erhalten Alice und Bob schlussendlich dieselbe Farbe?
Wieso kann Eve aus den verschickten Farben die geheime Farbe nicht herstellen?
Worauf beruht die Sicherheit des Verfahrens? Wieso ist es für Eve so schwierig, die geheime Farbe zu rekonstruieren?
Ein mathematisches Problem dieser Art
Auch in der Mathematik gibt es Operationen, die einfach und schnell auszuführen sind. Die Umkehrung jedoch ist selbst für einen Computer aufwändig und kann Jahre dauern.
Ein Beispiel dafür ist das Multiplizieren zweier (Prim-)Zahlen. Jeder Computer kann pro Sekunde mehrere Milliarden Multiplikationen ausführen. Ein Produkt zweier Primzahlen in die beiden Faktoren zu zerlegen, ist jedoch ungleich aufwändiger - insbesondere wenn die Zahlen mehrere hundert Stellen lang sind.
- Berechnen Sie auf Papier. Überlegen Sie sich dabei, wie Sie vorgehen.
- Schaffen Sie es, die Zahl in ihre zwei Primfaktoren zu zerlegen? Und ? Wie könnte man dabei vorgehen?
Ausprobieren
Zeitanalyse Primfaktorzerlegung
Mit diesem Tool können Sie die Zeit messen, die Ihr Computer benötigt, um
- zwei Primzahlen zu finden
- das Produkt der beiden Primzahlen zu berechnen
- das Produkt wieder in seine Primfaktoren zu zerlegen
Zwei Primzahlen zwischen 0 und 0 wählen
- Wie schnell sind Computer beim Multiplizieren und Faktorisieren? Überprüfen Sie mit dem untenstehenden Experimentier-Tool, wie schnell Ihr Computer beim Multiplizieren und Faktorisieren von grossen Primzahlen ist. Verwenden Sie für jede Grössenordnung (6, 7, 8, evtl. 9 und 10 stellige Primzahlen) mehrere () Messungen vor.
- Halten Sie die Messergebnisse fest - kopieren Sie dazu den Plott der Messwerte als Bild in die Antwort.
- Was bedeutet es für eine kryptographische Anwendungen, wenn die beiden Primzahlen statt
9oder10Stellen mehrere hundert Stellen lang sind?
In der Kryptographie
Die beiden Beispiele zeigen, wie asymmetrische Verschlüsselung funktioniert. In der Kryptographie werden asymmetrische Verfahren eingesetzt, um geheime Schlüssel für symmetrische Verschlüsselungsverfahren auszutauschen. Die asymmetrische Verschlüsselung ist also ein Hilfsmittel, um die eigentliche Verschlüsselung mit einem symmetrischen Verfahren durchzuführen. Die asymmetrische Verschlüsselung ist also nicht für die Verschlüsselung selbst gedacht, sondern für den Austausch von geheimen Schlüsseln, die dann für die eigentliche Verschlüsselung verwendet werden.
Sie haben weiter Oben bereits gelernt, wie sich Bob und Alice auf eine gemeinsame Geheimfarbe einigen können. Noch praktischer wäre es, wenn sie sich stattdessen auf eine gemeinsame Geheimzahl einigen könnten. Diese könnten sie dann mit einer entsprechenden Abmachung als geheimen Schlüssel für ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren verwenden (angenommen, sie verwenden ein präzises Messgerät, welches für die Farbe deren RGB-Werte ausgibt).
Wenn Sie wissen möchten, wie Bob und Alice aus mathematischer Sicht zu einer solchen gemeinsamen Geheimzahl kommen können, dann schauen Sie sich dieses Video an:
Im Video werden einige mathematische Prinzipien etwas vereinfacht dargestellt. Tatsächlich werden nicht und über den öffentlichen Kanal ausgetauscht, sondern , respektive .